「0.999…=1」という等式を目にしたことはありませんか。直観はあまり成り立つようには見えないかもしれませんが、今回はこの等式を理論的に説明しようと思います。
まずは誰でもわかる説明をしようと思います。
1/3=0.333…です。これは筆算をしてもらえば分かると思います。両辺に３をかけてあげると1=0.999…になります。これで証明できました。
次に少し難しいやり方でも証明しようと思います。
x=0.999…と置きます。このとき10x=9.999…となります。この二つの式で引き算をしてあげると9x=9となります。両辺を９で割ってあげるとx=1となります。よって0.999…=1となります。これで別の方法でも証明できました。
これで「0.999…=1」が成り立つことが理解できたのではないでしょうか。
中学校に入学して始まる数学で最初に習うことは「－と－をかけると＋になる」ではないでしょうか？ただ暗記するだけではなく理論がわかると納得しやすいと思うため、中学生でもわかるような説明をしたいと思います。
様々な説明がありますが、今回は「速さ×時間＝距離」という式を利用して説明します。Aさんが時速１kmで西から東に歩いているとします。現在地を基準（０m）として東方向を＋、西方向を－とすると、3時間後にAさんは＋３kmの位置にいると言えます。
同様に過去のことについても考えてみましょう。３時間前にAさんはー３kmの位置にいると言えます。
これらの関係を式にすると、
１×３＝３ １×（ー３）＝ー３
となります。
今度はAさんが時速１kmで東から西に歩いているとします。上の例と同様に現在地を基準（０m）として東方向を＋、西方向を－とすると、３時間後にAさんはー３kmの位置にいると言えます。
また、同様に過去のことについても考えてみると、３時間前にAさんは＋３kmの位置にいると言えます。
これらの関係も式にしてみると
ー１×３＝ー３ ー１×（ー３）＝３
となります。
速さと時間はすべての実数に拡張することができるので、この例から「－と－をかけると＋になる」ことがある程度理論的に理解できるのではないでしょうか？
